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。

小学数学知识汇总

图形的周长、面积
、体积公式及相关知识

长方形周长 =（长+宽）×2

长方形面积 =长×宽

正方形周长 = 边长 × 4

正方形面积 = 边长×边长

三角形面积 = 底×高÷2

平行四边形面积 = 底 × 高

梯形面积 = （上底 +下底）×高÷2

圆的周长等于∏×直径或∏×半径×2 即C =∏d或C = 2∏r

圆的面积等于3.14×半径的平方。

环形的面积等于3.14×（大半径的平方－

小半径的平方）

半圆的周长 = 圆的周长的一半 + 直径

即：∏ r + 2 r

长方体的表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2

长方体的体积 = 长 × 宽 × 高

或

底面积×高

正方体的表面积 = 棱长×棱长× 6

正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长

圆柱体的表面积=2个底面积 + 侧面积

侧面积=底面周长×高

圆柱体的体积 = 底面积 × 高

圆锥体的体积 = 底面积 × 高 ÷ 3

长方体和正方体都有6个面、8个顶点和12条棱 。

相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长 、宽
、高
。

正方体可以看作是特殊的长方体。

最少需要8个相同的小正方体才能拼成一个大正方体 。

圆柱体上下两个底面都是圆形，而且它们的面积都相等
。

圆柱体的侧面展开是长方形 ，它的长是圆柱底面的周长
，它的高是圆柱的高。

圆锥的底面也是圆形，侧面展开是扇形 。

圆柱体的体积是和它等底等高的圆锥体的体积的3倍
。

大圆的半径是小圆的直径 ，则大圆的面积是小圆的面积的4倍。

在正方形里剪一个最大的圆
，正方形的边长就是圆的直径 。

在长方形里剪一个最大的圆，长方形的宽就是圆的直径
。

把一个长方形拉成一个平行四边形以后 ，面积比原来变小了。

长方形的周长要先除以2
，然后再按比例分配；而长方体的棱长总和要先除以4，然后再分配 。

圆的半径扩大3倍 ，周长也扩大3倍
，面积扩大9倍。

正方体的棱长扩大3倍，则表面积扩大9倍 ，体积扩大27倍
。

圆柱体或圆锥体的底面半径扩大2倍，体积扩大4倍。

常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图 。

条形统计图的特点是很容易看出各种数量的多少；折线统计图的特点是不但可以看出各种数量的多少
，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况；扇形统计图的特点是可以清楚地表示出各部分数量和总数之间的关系

几何初步知识

直线没有端点，两端可以无限延长 ，不能测量长度
。

射线有一个端点
，一端可以无限延长，不能测量长度。

线段有两个端点 ，不能延长
，可以测量长度 。

过一点可以画无数条直线，过两点可以画一条直线
。

在同一平面内 ，两条直线的相互位置有相交和平行两种。

在同一平面内
，不相交的两条直线叫做平行线 。

一个顶点和从这个顶点出发的两条射线组成的图形叫做角
。

大于0度小于90度的角叫锐角；大于90度小于180度的角叫钝角。

三角形的内角和是180度；四边形的内角和是360度 。

直角是90度，平角是180度 ，周角是360度
。

三角形按角可以分为直角三角形 、锐角三角形和钝角三角形。

三角形按边可分为等边三角形
、等腰三角形和不等边三角形；等边三角形三条边都相等
，三个角都是60度 。

长方形和正方形都是特殊的平行四边形。

当圆、正方形和长方形的周长相等时，圆的面积最大 ，长方形的面积最小
。

三角形具有稳定性，平行四边形容易变形。

等底等高的情况下
，三角形的面积是平行四边形面积的一半 。

圆是平面上的一种曲线图形，围成圆的曲线的长度叫做圆的周长；圆所在的平面的大小叫做圆的面积
。

从圆心到圆上任意一点的线段叫做圆的半径。

通过圆心 ，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径 。

顶点在圆心的角叫做圆心角；圆内最长的线段是直径
。

圆有无数条半径和无数条直径。

在同一圆内
，所有的半径都相等，所有的直径也都相等 。

在同一圆内 ，直径是半径的2倍
。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率
，用字母∏来表示，是祖冲之最早计算出来的。∏≈ 3.14

圆心决定了圆的位置 ，半径决定了圆的大小 。

扇形的大小是由半径和圆心角来决定的 
。

圆规两角间的距离指的是圆的半径。

如果一个图形沿着一条直线对折
，两侧的图形能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形 ，折痕所在的直线叫做对称轴 。

圆有无数条对称轴
，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴 ，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴
，等腰梯形有一条对称轴，半圆或扇形都有一条对称轴。

量的计量

常用的长度单位有千米 、米
、分米、厘米和毫米
。

常用的面积单位有平方千米 ，公顷 、平方米
，平方分米和平方厘米。

常用的体积单位有立方米，立方分米 ，立方厘米 。

常用的容积单位有升和毫升
。1升=1000毫升。

立方分米就是升
，立方厘米就是毫升 。

常用的重量单位有吨，千克和克
。

常用的人民币单位有元
、角、分。

常用的时间单位有世纪 、年、月
、日、时 、分
、秒 。

1世纪=100年 ，1年=12月
，大月31天，小月30天
。

一年有12个月 ，分为四个季度
，每个季度三个月。

每四年中有三个平年和一个闰年 。平年2月有28天，闰年2月有29天
。

代数初步知识

含有未知数的等式叫做方程。

求方程的解的过程叫做解方程 。

两个数相除又叫做两个数的比；表示两个比相等的式 子叫做比例。

比的后项不能为0
。

比的前项除以后项的商 ，叫做比值。比值可以是整数、小数或分数 。

比的前项和后项都乘上或除以相同的数（0除外），比值不变
，叫做比的基本性质
。

在比例里，两个内项的积等于两个外项的积 ，叫做比例的基本性质 。

图上距离和实际距离的比叫做比例尺 。

比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种
。

两种相关联的量
，一种量变化，另一种量也随着变化 ，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定
，这两种量就叫做乘正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。即： x ÷ y ＝ k (一定)

两种相关联的量 ，一种量变化
，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定 ，这两种量就叫做乘反比例的量
，它们的关系叫做反比例关系 。即： x × y = k ( 一定 )

圆的半径和面积不成比例 和 周长成正比例
。

三角形的面积一定，底和高成反比例。

比例尺一定 ，图上距离和实际距离成正比例 。

一种商品先降价10%，再提价10%
，价格比原来降低了
。

甲比乙多25%，则乙比甲少20%。

数和数的运算

我们在数物体的时候 ，用来表示物体个数的1 
，2 ，3 …… 叫做自然数 。0也是自然数 ，是最小的自然数
，没有最大的自然数。自然数都是整数
。

把单位“l
”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数是这个分数的分数单位 。

两个整数相除 ，它们的商可以用分数表示
。即：a÷b = (b≠0)

分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。

真分数的倒数一定大于1
，但假分数的倒数不一定小于1 。

分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变 ，叫做分数的基本性质
。

小数的末尾添上“0”或者去掉“0 ”
，小数的大小不变，这叫做小数的基本性质。

一个小数 ，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现
，这样的小数叫做循环小数 。

循环节从小数部分第一位就开始的叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的叫做混循环小数
。

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数没有单位 。

整数a除以整数b（ b≠0 ） ，除得的商正好是整数而没有余数
，我们就说a能被b整除，或者b能整除a 
。

如果a能被b整除 ，我们就说a是b的倍数
，b是a的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1 ，最大的约数是它的本身 。

一个数的倍数的个数是无限的
，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个数 ，如果只有1和它本身两个约数
，叫做质数
。

一个数，如果除了1和它本身 ，还有别的约数，叫做合数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式
，叫做分解质因数 。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数
。

几个数公有的约数叫做这几个数的公约数 ，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公约数。

公约数只有1的两个数
，叫做互质数 。

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数
。一个自然数不是偶数就是奇数。

最小的偶数是0 ，最小的奇数是1 
，最小的质数是2 ，最小的合数是4  。

除了0和2以外 ，所有的偶数都是合数
。

能同时被2 、3
、5整除的最小的两位数是30
，最小的三位数是120。

一个算式，如果只含有同一级运算 ，要按照从左往右的顺序依次计算 。如果含有两级运算
，要先算乘除，后算加减
。如果有括号 ，还要先算括号里面的，再算括号外面的。

乘积是1的两个数叫做互为倒数 。

甲数除以乙数（0除外）
，等于甲数乘以乙数的倒数。

利息 = 本金 × 利率 × 时间

税后利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×80%

概念

数的读法和写法

1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读
。读亿级、万级时 ，先按照个级的读法去读
，再在后面加一个“亿
”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零 。

2. 整数的写法：从高位到低位 ，一级一级地写
，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0
。

3. 小数的读法：读小数的时候 ，整数部分按照整数的读法读
，小数点读作“点 ”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

4. 小数的写法：写小数的时候 ，整数部分按照整数的写法来写
，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字 。

5. 分数的读法：读分数时 ，先读分母再读“分之
”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读
。

6. 分数的写法：先写分数线
，再写分母，最后写分子 ，按照整数的写法来写。

7. 百分数的读法：读百分数时
，先读百分之，再读百分号前面的数 ，读数时按照整数的读法来读 。

8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式
，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示
。

（二）数的改写

一个较大的多位数，为了读写方便 ，常常把它改写成用“万 ”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要
，省略这个数某一位后面的数，写成近似数 。

1. 准确数：在实际生活中 ，为了计数的简便
，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数
。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿 。

2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数 ，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿
。

3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小
，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去 ，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万 。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿
。

4. 大小比较

1. 比较整数大小：比较整数的大小
，位数多的那个数就大，如果位数相同 ，就看最高位
，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同 ，就看下一位
，哪一位上的数大那个数就大。

2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分， ，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的
，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

3. 比较分数的大小:分母相同的分数 ，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大 。分数的分母和分子都不相同的
，先通分，再比较两个数的大小
。

（三）数的互化

1. 小数化成分数：原来有几位小数 ，就在1的后面写几个零作分母
，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

2. 分数化成小数：用分母去除分子 。能除尽的就化成有限小数 ，有的不能除尽
，不能化成有限小数的，一般保留三位小数
。

3. 一个最简分数 ，如果分母中除了2和5以外
，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数 ，这个分数就不能化成有限小数。

4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位
，同时在后面添上百分号 。

5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉 ，同时把小数点向左移动两位
。

6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)
，再把小数化成百分数。

7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数 。

（四）数的整除

1. 把一个合数分解质因数 ，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除
，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式
。

2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除 ，一直除到所得的商只有公约数1为止
，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。

3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除 ，一直除到互质（或两两互质）为止
，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数 。

4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时 ，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时
，这两个合数互质
。

（五）约分和通分

约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子 、分母；通常要除到得出最简分数为止。

通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数 。

第一章 数和数的运算

（一）整数

整数的意义

自然数和0都是整数
。

自然数

我们在数物体的时候 ，用来表示物体个数的1，2
，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示 。0也是自然数
。

计数单位

一（个）
、十、百 、千
、万、十万 、百万、千万
、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10 。这样的计数法叫做十进制计数法
。

数位

计数单位按照一定的顺序排列起来 ，它们所占的位置叫做数位。

数的整除

整数a除以整数b(b ≠ 0）
，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除 ，或者说b能整除a  。

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除
，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的
。

因为35能被7整除 ，所以35是7的倍数
，7是35的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1 ，最大的约数是它本身 。例如：10的约数有1、2 、5
、10
，其中最小的约数是1，最大的约数是10
。

一个数的倍数的个数是无限的 ，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6 、9
、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数 。

个位上是0、2 、4
、6、8的数
，都能被2整除，例如：202 、480
、304 ，都能被2整除
。。

个位上是0或5的数
，都能被5整除，例如：5、30 、405都能被5整除 。
。

一个数的各位上的数的和能被3整除 ，这个数就能被3整除
，例如：12、108
、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除 。

能被3整除的数不一定能被9整除 ，但是能被9整除的数一定能被3整除
。

一个数的末两位数能被4（或25）整除
，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404 、1256都能被4整除，50
、325、500 、1675都能被25整除 。

一个数的末三位数能被8（或125）整除 ，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168
、4600、5000 、12344都能被8整除
，1125
、13375、5000都能被125整除
。

能被2整除的数叫做偶数。

不能被2整除的数叫做奇数 。

0也是偶数
。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

一个数，如果只有1和它本身两个约数 ，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2 、3
、5、7 、11、13
、17、19 、23
、29、31 、37
、41、43 、47
、53、59 、61
、67、71 、73、79
、83、89 、97 。

一个数
，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数 ，例如 4
、6、8 、9
、12都是合数
。

1不是质数也不是合数
，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类 ，可分为质数、合数和1 。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式
。其中每个质数都是这个合数的因数
，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5 ，3和5 叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来
，叫做分解质因数 。

例如把28分解质因数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数
。其中最大的一个 ，叫做这几个数的最大公约数
，例如12的约数有1 、2
、3、4 、6
、12；18的约数有1、2 、3、6
、9、18。其中，1 、2
、3、6是12和1 8的公约数 ，6是它们的最大公约数 。

公约数只有1的两个数，叫做互质数
，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

1和任何自然数互质。

相邻的两个自然数互质
。

两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时 ，这个合数和这个质数互质 。

两个合数的公约数只有1时
，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质 ，就说这几个数两两互质
。

如果较小数是较大数的约数
，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1 。

几个数公有的倍数 ，叫做这几个数的公倍数
，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数 ，如2的倍数有2 、4
、6 、8 、10
、12、14 、16
、18 ……

3的倍数有3、6 、9、12
、15、18 …… 其中6 、12
、18……是2、3的公倍数
，6是它们的最小公倍数
。。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数 。

如果两个数是互质数 ，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数
。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

(二)小数的意义

把整数1平均分成10份 、100份
、1000份…… 得到的十分之几、百分之几 、千分之几…… 可以用小数表示 。

一位小数表示十分之几
，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

一个小数由整数部分
、小数部分和小数点部分组成
。数中的圆点叫做小数点 ，小数点左边的数叫做整数部分
，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里 ，每相邻两个计数单位之间的进率都是10 。小数部分的最高分数单位“十分之一
”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

小数的分类

纯小数：整数部分是零的小数
，叫做纯小数
。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。

带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数 。 例如： 3.25  、 5.26 都是带小数
。

有限小数：小数部分的数位是有限的小数 ，叫做有限小数。 例如： 41.7 
、 25.3 、 0.23 都是有限小数 。

无限小数：小数部分的数位是无限的小数
，叫做无限小数
。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限 ，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：∏

循环小数：一个数的小数部分
，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数 。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……

一个循环小数的小数部分 ，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节
。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 
” 。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的
，叫做纯循环小数 。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……

混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数
。 3.1222 …… 0.03333 ……

写循环小数的时候 ，为了简便
，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首 、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字 ，就只在它的上面点一个点 。例如： 3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。

（三）分数的意义

把单位“1”平均分成若干份
，表示这样的一份或者几份的数叫做分数
。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数 ，叫做分母
，表示把单位“1 ”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

把单位“1
”平均分成若干份 ，表示其中的一份的数
，叫做分数单位 。

分数的分类

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数
。真分数小于1。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数 。假分数大于或等于1
。

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数 ，通常叫做带分数。

约分和通分

把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分 。

分子分母是互质数的分数
，叫做最简分数
。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

（四）百分数

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比 。百分数通常用"%"来表示
。百分号是表示百分数的符号。

小学六年级上册数学知识点大全1-7单元

小升初数学知识点归纳1

　一
、算术

　1、加法交换律：两数相加交换加数的位置 ，和不变 。

　2 、加法结合律：a + b = b + a

　3
、乘法交换律：a × b = b × a

　4、乘法结合律：a × b × c = a ×(b × c)

　5 、乘法分配律：a × b + a × c = a × b + c

　6
、除法的性质：a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)

　7、除法的性质：在除法里
，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。 O除以任何不是O的数都得O
。简便乘法：被乘数 、乘数末尾有O的乘法 ，可以先把O前面的相乘
，零不参加运算，有几个零都落下 ，添在积的末尾。

　8
、有余数的除法：被除数=商×除数+余数

　二、方程 、代数与等式

　等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式 。等式的基本性质：等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数
，等式仍然成立
。

　方程式：含有未知数的等式叫方程式。

　一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式 。学会一元一次方程式的例法及计算
。即例出代有χ的算式并计算。

　代数：代数就是用字母代替数 。

　代数式：用字母表示的式子叫做代数式
。如：3x =ab+c

　三
、体积和表面积

　三角形的面积=底×高÷2。公式S= a×h÷2

　正方形的面积=边长×边长公式S= a2

　长方形的面积=长×宽公式S= a×b

　平行四边形的面积=底×高公式S= a×h

　梯形的面积=(上底+下底)×高÷2公式S=(a+b)h÷2

　内角和：三角形的内角和=180度 。

　长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高) ×2公式：S=(a×b+a×c+b×c)×2

　正方体的表面积=棱长×棱长×6公式：S=6a2

　长方体的体积=长×宽×高公式：V = abh

　长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式：V = abh

　正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式：V = a3

　圆的周长=直径×π公式：L=πd=2πr

　圆的面积=半径×半径×π公式：S=πr2

　圆柱的表(侧)面积：圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高
。公式：S=ch=πdh=2πrh

　圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2

　圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高 。公式：V=Sh

　圆锥的体积=1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh

　四、分数

　分数：把单位“1”平均分成若干份 ，表示这样的一份或几分的数,叫做分数
。

　分数大小的比较：同分母的分数相比较
，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较 ，先通分然后再比较;若分子相同，分母大的反而小 。

　分数的加减法则：同分母的分数相加减
，只把分子相加减，分母不变
。异分母的分数相加减 ，先通分
，然后再加减。

　分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子 ，分母不变 。

　分数乘分数
，用分子相乘的积作分子，分母相乘的'积作为分母
。

　分数的加 、减法则：同分母的分数相加减 ，只把分子相加减
，分母不变。异分母的分数相加减，先通分 ，然后再加减 。

　倒数的概念：1.如果两个数乘积是1
，我们称一个是另一个的倒数
。这两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数 。

　分数除以整数(0除外) ，等于分数乘以这个整数的倒数
。

　分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小

　分数的除法则：除以一个数(0除外)
，等于乘这个数的倒数。

　真分数：分子比分母小的分数叫做真分数 。

　假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1
。

　带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

　分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外) ，分数的大小不变 。

　一．整数和小数

　1．最小的一位数是1
，最小的自然数是0

　2．小数的意义：把整数“1 ”平均分成10份、100份
、1000份……这样的一份或几份分别是十分之几、百分之几 、千分之几……可以用小数来表示
。

　3．小数点左边依次是整数部分，小数点右边是小数部分 ，依次是十分位
、百分位、千分位……

　4．小数的分类：小数 有限小数

　无限循环小数

　无限小数

　无限不循环小数

　5．整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。

　6．小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0
，小数的大小不变 。

　7．小数点向右移动一位 、二位
、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍 、1000倍……

　小数点向左移动一位
、二位、三位……原来的数分别缩小10倍 、100倍
、1000倍……

　二．数的整除

　1．整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数 ，我们就说a能被b整除
，或者说b能整除a
。

　2．约数、倍数：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数 ，b就叫做a的约数。

　3．一个数倍数的个数是无限的
，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数 。

　一个数约数的个数是有限的 ，最小的约数是1，最大的约数是它本身
。

　4．按能否被2整除
，非0的自然数分成偶数和奇数两类，能被2整除的数叫做偶数 ，不能被2整除的数叫做奇数。

　5．按一个数约数的个数
，非0自然数可分为1 、质数、合数三类 。

　质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数 ，这样的数叫做质数
。质数都有2个约数。

　合数：一个数
，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数 。合数至少有3个约数。

　最小的质数是2 ，最小的合数是4

　1~20以内的质数有：2
、3、5 、7
、11、13 、17
、19

　1~20以内的合数有“4、6 、8
、9、10 、12
、14、15 、16、18

　6．能被2整除的数的特征：个位上是0
、2、4 、6
、8的数
，都能被2整除
。

　能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。

　一、数列求和

　等差数列：在一列数中 ，任意相邻两个数的差是一定的
，这样的一列数，就叫做等差数列 。

　基本概念：首项：等差数列的第一个数 ，一般用a1表示;

　项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;

　公差：数列中任意相邻两个数的差
，一般用d表示;

　通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

　数列的和：这一数列全部数字的和 ，一般用Sn表示.

　基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an,d, n, sn,,通项公式中涉及四个量
，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量 ，如果己知其中三个
，就可以求这第四个
。

　基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d;

　通项=首项+(项数一1) ×公差;

　数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2;

　数列和=(首项+末项)×项数÷2;

　项数公式：n= (an- a1)÷d+1;

　项数=(末项-首项)÷公差+1;

　公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);

　公差=(末项-首项)÷(项数-1);

　关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式。

　二 、加法乘法原理和几何计数

　加法原理：如果完成一件任务有n类方法 ，在第一类方法中有m1种不同方法
，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法 ，那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法 。

　关键问题：确定工作的分类方法
。

　基本特征：每一种方法都可完成任务。

　乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行
，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法 ，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法
，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的方法 。

　关键问题：确定工作的完成步骤

　基本特征：每一步只能完成任务的一部分
。

　直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

　直线特点：没有端点 ，没有长度 。

　线段：直线上任意两点间的距离
。这两点叫端点。

　线段特点：有两个端点
，有长度 。

　射线：把直线的一端无限延长。

　射线特点：只有一个端点;没有长度

　①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);

　②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);

　③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

　④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
。

　小升初数学知识点：加法乘法原理和几何计数

　三
、质数与合数

　质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数 ，这个数叫做质数
，也叫做素数。

　合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数 ，这个数叫做合数 。

　质因数：如果某个质数是某个数的约数
，那么这个质数叫做这个数的质因数
。

　分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数 。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的
。

　分解质因数的标准表示形式：N=  ，其中a1、a2 、a3……an都是合数N的质因数
，且a1……。

　求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

　互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数 。

　四
、约数与倍数

　约数和倍数：若整数a能够被b整除 ，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数
。

　公约数：几个数公有的约数
，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　最大公约数的性质：

　1、几个数都除以它们的最大公约数 ，所得的几个商是互质数

　2 、几个数的最大公约数都是这几个数的约数

　3
、几个数的公约数
，都是这几个数的最大公约数的约数 。

　4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m
。

　例如：12的约数有1 、2、3
、4、6 、12;

　18的约数有：1
、2、3 、6
、9、18;

　那么12和18的公约数有：1 、2
、3、6;

　那么12和18最大的公约数是：6 ，记作(12
，18)=6;

　求最大公约数基本方法：

　1 、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

　2
、短除法：先找公有的约数 ，然后相乘 。

　3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除
，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

　公倍数：几个数公有的倍数 ，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个
，叫做这几个数的最小公倍数
。

　12的倍数有：12 、24、36
、48……;

　18的倍数有：18、36 、54
、72……;

　那么12和18的公倍数有：36、72 、108……;

　那么12和18最小的公倍数是36，记作[12 ，18]=36;

　最小公倍数的性质：

　1
、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

　2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 。

　求最小公倍数基本方法：1 、短除法求最小公倍数;2
、分解质因数的方法
。

　20172017小升初数学复习重点大全 ：约数与倍数

　五、数的整除

　一 、基本概念和符号：

　1
、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b
，得到一个整数商c，而且没有余数 ，那么叫做a能被b整除或b能整除a
，记作b|a。

　2、常用符号：整除符号“|
”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵ ” ，所以的符号“∴
”;

　二 、整除判断方法：

　1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2
、5整除 。

　2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4 、25整除
。

　3. 能被8
、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　4. 能被3 、9整除：各个数位上数字的和能被3
、9整除 。

　5. 能被7整除：

　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除

　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除
。

　6. 能被11整除：

　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除 。

　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除
。

　7. 能被13整除：

　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除

　三、整除的性质：

　1. 如果a 、b能被c整除
，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除 。

　2. 如果a能被b整除，c是整数 ，那么a乘以c也能被b整除。

　3. 如果a能被b整除
，b又能被c整除，那么a也能被c整除
。

　4. 如果a能被b
、c整除 ，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

　20172017小升初数学复习重点大全 ：数的整除

　六、余数问题

　余数的性质：

　①余数小于除数 。

　②若a 、b除以c的余数相同
，则c|a-b或c|b-a
。

　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数

　余数
、同余与周期

　一、同余的定义：

　①若两个整数a 、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余 。

　②已知三个整数a
、b、m ，如果m|a-b，就称a 、b对于模m同余
，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m

　二
、同余的性质：

　①自身性：a≡a(mod m);

　②对称性：若a≡b(mod m) ，则b≡a(mod m);

　③传递性：若a≡b(mod m)
，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

　④和差性：若a≡b(mod m) ，c≡d(mod m)
，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

　⑤相乘性：若a≡ b(mod m) ，c≡d(mod m)
，则a×c≡ b×d(mod m);

　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

　⑦同倍性:若a≡ b(mod m) ，整数c
，则a×c≡ b×c(mod m×c);

　三、关于乘方的预备知识：

　①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　四 、被3
、9、11除后的余数特征：

　①一个自然数M ，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

　②一个自然数M
，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和 ，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

　五 、费尔马小定理：如果p是质数(素数)
，a是自然数，且a不能被p整除 ，则ap-1(mod p)
。

　数学是小升初考试中的一个重要科目
，所以我们在小升初总复习的时候，都会把数学作为一个重点。因为相对于其他科目来说 ，数学是拉分比较大的一个科目 。为了使大家能够更好的复习
，我们为大家整理了2017年小升初数学常见知识点，仅供参考
。

　和差问题的公式

　(和+差)÷2=大数

　(和-差)÷2=小数

　和倍问题

　和÷(倍数-1)=小数

　小数×倍数=大数

　(或者和-小数=大数)

　差倍问题

　差÷(倍数-1)=小数

　小数×倍数=大数

　(或小数+差=大数)

　植树问题

　1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：

　⑴如果在非封闭线路的两端都要植树 ，那么：

　株数=段数+1=全长÷株距-1

　全长=株距×(株数-1)

　株距=全长÷(株数-1)

　⑵如果在非封闭线路的一端要植树
，另一端不要植树，那么：

　株数=段数=全长÷株距

　全长=株距×株数

　株距=全长÷株数

　⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树 ，那么：

　株数=段数-1=全长÷株距-1

　全长=株距×(株数+1)

　株距=全长÷(株数+1)

　2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

　株数=段数=全长÷株距

　全长=株距×株数

　株距=全长÷株数

#六年级# 导语 整理了小学六年级上册数学知识点大全1-7单元，希望对你有帮助!

第一单元分数乘法

一
、分数乘法

(一)分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算 。

例如：65×5表示求5个65的和是多少? 1/3×5表示求5个1/3的和是多少?

2 、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少
。　

例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。

4×3/8表示求4的3/8是多少.

(二)
、分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子
，分母不变 。(整数和分母约分)

2 、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带分数进行乘法计算时 ，要先把带分数化成假分数再进行计算
。

3、为了计算简便
，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分 ，不会约分的就不约
，常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）

4
、小数乘分数，可以先把小数化为分数 ，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算） 。

(三)、 乘法中比较大小的规律

一个数(0除外)乘大于1的数
，积大于这个数
。

一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。

一个数(0除外)乘1 ，积等于这个数 。

　(四) 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同
。整数乘法的交换律
、结合律和分配律
，对于分数乘法也同样适用。

　乘法交换律： a × b = b × a

　乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )

　乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c

二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1 ”的几分之几是多少)

1 、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图 ，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐 。(2)部分和整体的关系：画一条线段图
。

2
、找单位“1”： 单位“1
” 在分率句中分率的前面；

或在“占”、“是 ” 、“比
”“相当于”的后面。

3
、写数量关系式的技巧：

(1)“的 ” 相当于 “×
”
，“占”、“相当于 ”“是
” 、“比”是 “ =  ”

(2)分率前是“的
”字：用单位“1”的量×分率=具体量

例如：甲数是20，甲数的1/3是多少？列式是：20×1/3

4
、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少 ”的关系式：

（比少）：单位“1”的量×(1-分率)=具体量；

例如：甲数是50 ，乙数比甲数少1/2
，乙数是多少？

列式是：50×（1-1/2）

（比多）：单位“1
”的量×(1+分率)=具体量　

例如：小红有30元钱，小明比小红多3/5 ，小红有多少钱？

列式是：50×（1+3/5）

3、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍；

4 、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几 。

5、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数

6
、求已知一个部分量是总量的几分之几
，求另一个部分量的方法：

(1)、单位“1”的量×(1-分率)=另一个部分量（建议用）

(2) 、单位“1 ”的量-已知占单位“1
”的几分之几的部分量=要求的部分量

例如：教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中”）

第二单元位置与方向（二）

一
、确定物体位置的方法：1、先找观测点；2 、再定方向（看方向夹角的度数）；3
、最后确定距离（看比例尺）

二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标 ，确定方向和路程
。

三 、位置关系的相对性：1
、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时
，观测点不同，叙述的方向正好相反 ，而度数和距离正好相等。

四、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西 。

第三单元分数除法

三 、倒数

1
、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。

强调：互为倒数
，即倒数是两个数的关系，它们互相依存 ，倒数不能单独存在
。　(要说清谁是谁的倒数)。

2、求倒数的方法：

(1) 、求分数的倒数：交换分子分母的位置 。

(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置
。

(3)
、求带分数的倒数：把带分数化为假分数
，再求倒数。

(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数 。

3 、 1的倒数是1； 因为1×1=1；0没有倒数 ，因为0乘任何数都得0
，(分母不能为0)

4
、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1
。

5、运用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数 。

1 、分数除法的意义：

乘法： 因数 × 因数 = 积

除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同 ，表示已知两个因数的积和其中一个因数
，求另一个因数的运算
。

例如：1/2÷3/5意义是：已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5，求另一个因数的运算。

2
、分数除法的计算法则：

除以一个不为0的数 ，等于乘这个数的倒数 。

3、分数除法比较大小时的规律：

(1)当除数大于1
，商小于被除数;

(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;

(3)当除数等于1 ，商等于被除数
。

“[ ] ”叫做中括号。一个算式里
，如果既有小括号，又有中括号 ，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的 。

二 、分数除法解决问题

1
，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分率=具体量

例如：公鸡有20只 ，是母鸡只数的1/3
，母鸡有多少只
。（单位一是母鸡只数，单位一未知.）解：设母鸡有X只。列方程为：X×1/3=20

(2)算术(用除法)：单位“1
”的量未知用除法：

即已知单位“1”的几分之几是多少 ，求单位“1 ”的量 。

分率对应量÷对应分率 = 单位“1
”的量

例如：公鸡有20只
，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只
。（单位一是母鸡只数 ，单位一未知
，）用除法，列式是：20÷1/3

2
、看分率前有没有比多或比少的问题；

分率前是“多或少”的关系式：

（比少）：具体量÷ (1-分率)= 单位“1 ”的量；

例如:桃树有50棵 ，比苹果树少1/6
，苹果树有多少棵。

列式是：50÷（1-1/6）

（比多）：具体量　÷ (1+分率)= 单位“1
”的量

例如:一种商品现在是80元，比原价增加了1/7 ，原价多少？

列式是：80÷（1+1/7）

3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为分数形式 。

例如:男生有20人
，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几
。

列式是：15÷20=15/20=3/4　

4 、求一个数比另一个数多几分之几的方法：

用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数

即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数） ，结果写为分数形式。

例如：5比3多几分之几？（5－3）÷3=2/3

②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数）
，结果写为分数形式 。

例如：3比5少几分之几？（5－3）÷5=2/5

说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同
。

5
、工程问题：把工作总量看作单位“1 ” ，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和
，即1÷（1/时间+1/时间），（工作效率=1/时间）

例如：一项工程甲单独做要5天完成 ，乙单独做要10天完成
，甲单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）

第四单元比

(一)、比的意义

1 、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中 ，比号前面的数叫做比的前项
，比号后面的数叫做比的后项 。比的前项除以后项所得的商，叫做比值
。

例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分数表示 ，也可以用小数或整数表示)

15　 ∶ 10　 ＝　 3/2

前项 比号 后项　 比值

3
、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍 。

也可以表示两个不同量的比
，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间
。

4、区分比和比值

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式 ，也可以用分数表示。

比值：相当于商
，是一个数，可以是整数 ，分数
，也可以是小数 。

5 、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式
。

6
、　比和除法、分数的联系：

比 前 项 比号“：” 后 项 比值

除 法 被除数 除号“÷
” 除 数 商

分 数 分 子 分数线“—” 分 母 分数值

7 、比和除法
、分数的区别：除法是一种运算 ，分数是一个数
，比表示两个数的关系。

8、根据比与除法 、分数的关系，可以理解比的后项不能为0 。

9
、体育比赛中出现两队的分是2：0等 ，这只是一种记分的形式
，不表示两个数相除的关系
。

10、求比值：用前项除以后项，结果是写为分数（不会约分的就不约分）

例如：15∶ 10　＝15÷10＝15／10＝3/2

(二) 、比的基本性质

1
、根据比、除法 、分数的关系：

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外) ，商不变。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变 。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)
，比值不变
。

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数 ，这样的比就是最简整数比。

3
、根据比的基本性质
，可以把比化成最简单的整数比 。

4.化简比：

(2)用求比值的方法
。注意： 最后结果要写成比的形式。

例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 3/2 = 3∶2

还可以15∶10 = 15÷10 = 3/2　最简整数比是3∶2

5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值 ，结果没有单位 。

6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配
。一般有两种解题法

1
，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总份数 ，再求出几份占总份数的几分之几
，最后再用总量分别乘几分之几 。

例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4 ，糖和水分别有几克？

1+4=5 糖占1/5 用 25×1/5得到糖的数量
，水占4/5 用 25×4/5得到水的数量
。

2，用份数解：要先求出总份数 ，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。

例如：有糖水25克
，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？

糖和水的份数一共有1+4=5 一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4

第五单元圆的认识

一 、认识圆形

1
、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形 。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次 ，折痕相交于圆中心的一点
，这一点叫做圆心
。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.

3 、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径 。一般用字母r表示
。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

4
、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径 。一般用字母d表示
。直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置 ，半径确定圆的大小 。

6 、在同一个圆内或等圆内
，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等 ，所有的直径都相等
。

7.在同圆或等圆内
，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示为：d=2r或r=d/2

8
、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折 ，两侧的图形能够完全重合
，这个图形是轴对称图形 。折痕所在的这条直线叫做对称轴
。

9、长方形 、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形 。

10
、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形 、等腰梯形、扇形
、半圆
。只有2条对称轴的图形是： 长方形；只有3条对称轴的图形是： 等边三角形；只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。

11 、画对称轴要用铅笔画 ，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点 。

二
、圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长
。用字母C表示。

2 、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号
，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周 ，得到圆的周长 。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）
。

发现
，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即3倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母π表示。

3
、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数 ，我们把它叫做圆周率 。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之
。

(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些
，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数 。在计算时，一般取π ≈ 3.14
。

(2) 、在判断时 ，圆周长与它直径的比值是π倍
，而不是3.14倍。　

4
、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd

(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示

d = C ÷π或圆的周长等于2乘圆周率乘半径 ，用字母表示C=2πr

(2) 、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的2倍
，

用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C / 2π）

5
、在一个正方形里画一个的圆，圆的直径等于正方形的边长 。在一个长方形里画一个的圆 ，圆的直径等于长方形的宽
。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

(1) 、周长的一半：等于圆的周长÷2

计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r

(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）

三、圆的面积

1
、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积 。 用字母S表示
。

2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。　长方形的长相当于圆的周长的一半
，长方形的宽相当于圆的半径 。

(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系
。

　圆的半径　 =　长方形的宽

　圆的周长的一半　 =　长方形的长

3 、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽

所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径

即S圆 = C÷2× r＝πr × r＝πr

圆的面积公式：S圆 =πr →　 r = S 圆÷ π

4
、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示 ，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度.)

S环 = πR -πr 或环形的面积公式：S环 = π(R -r )（建议用这个公式） 。

5、一个圆
，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍
。

例如：在同一个圆里 ，半径扩大3倍
，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。

6 、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方 。

例如：两个圆的半径比是2∶3 ，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3
，而面积比是4∶9

7
、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π

8、当长方形 ，正方形
，圆的周长相等时，圆面积 ，正方形居中，长方形面积最小
。反之
，面积相同时，长方形的周长最长 ，正方形居中
，圆的周长最短。

9 、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　

10
、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r 推导过程：S=S正-S圆=d -πr=2r×2r-πr =4r -πr =r ×(4-π)=0.86r

11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r 推导过程：S=S圆-S正=πr -dr/2×2=2r×r/2×r=πr -2r =r ×(π-2)=1.14r （把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径 ，高是半径）

12 、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 。顶点在圆心的角叫做圆心角
。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。

13
、S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360

14、扇形也是轴对称图形
，有一条对称轴 。

15 、常见半径与直径的周长和面积的结果
。

半径 半径的平方 直径 周长 面积

1 1 2 6.28 3.14

2 4 4 12.56 12.56

3 9 6 18.84 28.26

4 16 8 25.12 50.24

5 25 10 31.4 78.5

6 36 12 37.68 113.04

7 49 14 43.96 153.86

8 64 16 50.24 200.96

9 81 18 56.52 254.34

10 100 20 62.8 314

1.5 2.25 3 9.42 7.065

2.5 6.25 5 15.7 19.625

3.5 12.25 7 21.98 38.465

4.5 20.35 9 28.26 63.585

5.5 30.25 11 34.54 94.985

7.5 56.25 15 47.1 176.625

第六单元百分数

一、百分数的意义和写法

（一）
、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比 。

（二）、百分数和分数的主要联系与区别：

联系：都可以表示两个量的倍比关系
。

区别：① 、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系 ，不能表示具体的数量
，所以不能带单位;

分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系 ，表示具体数时可以带单位。

②
、百分数的分子可以是整数
，也可以是小数;

分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数 。

3、百分数的写法：通常不写成分数形式 ，而在原来分子后面加上“% ”来表示，读作百分之。

二 、百分数和分数
、小数的互化

(一)百分数与小数的互化：

1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足）
，同时在后面添上百分号
。

2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。

(二)百分数的和分数的互化

1 、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数 ，能约分要约成最简分数 。

2
、分数化成百分数：

① 用分数的基本性质
，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式
。

②先把分数化成小数(除不尽时 ，通常保留三位小数)
，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）

(三)常见分数小数百分数之间的互化；

三、用百分数解决问题

(一)一般应用题

1 、常见的百分率的计算方法：

一般来讲，出勤率
、成活率、合格率 、正确率能达到100% ，出米率、出油率达不到100%
，完成率
、增长了百分之几等可以超过100% 。　

2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式
。

例如：例如:男生有20人 ，女生有15人
，女生人数占男生人数的百分之几。

列式是：15÷20=15/20=75﹪　

3 、已知单位“1
”的量(用乘法)，求单位“1”的百分之几是多少的问题 ，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

(1)百分率前是“的 ”： 单位“1
”的量×百分率=百分率对应量

(2百分率前是“多或少”的数量关系：

单位“1 ”的量×(1±百分率)=百分率对应量

4
、未知单位“1
”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多少
，求单位“1 ” 。 方法与分数的方法相同
。

解法：　(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

(2)算术(用除法)： 百分率对应量÷对应百分率 = 单位“1
”的量

5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同 。只是结果要写为百分数形式
。看百分率前有没有比多或比少的问题；

百分率前是“多或少”的关系式：

（比少）：具体量÷ (1-百分率)= 单位“1 ”的量；

例如:大米有50千克 ，比面粉树少50﹪
，面粉有多少千克。

列式是：50÷（1-50﹪）

（比多）：具体量　÷ (1+百分率)= 单位“1”的量

例如:工人做110个零件，比原计划多做了10﹪ ，原计划做多少个？

列式是：110÷（1+10﹪）

6 、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同 。

用两个数的相差量÷单位“1
”的量 =百分之几

即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数）
，结果写为百分数形式。

甲比乙多几分之几的问题，方法A ，（甲-乙）÷乙 （建议用）

方法B
，甲÷乙-100﹪

例如：老师计划改40本作业，实际改了50本 ，实际比计划多改了百分之几？

列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪

②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数）
，结果写为百分数形式
。

乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）

方法B ， 100﹪-乙÷甲

例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电
，李四家比张三家少用百分之几？

（100－90）÷100=0.1=10﹪

说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。

7
、如果甲比乙多或少a﹪ ，求乙比甲少或多百分之几
，用a﹪÷（1±a﹪）

8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价格为“1” 。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后又上升的百分率
。

第七单元：扇形统计图

一 、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图) 。

二
、常用统计图的优点：

1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少
。

2 、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少 ，还可以清晰看出数量的增减变化情况。

3
、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系 。（要在统计图上写出百分率）

三、扇形的面积大小：在同一个圆中
，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大 ，扇形越大
。(因此扇形面积占圆面积的百分比
，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)

四 、应用：1.会观察统计图 。

2、你得到什么数学信息？

回答①
、***占总体的百分之几；

②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；

3 、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几
。

数学广角：数与形

1
、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积 ，这些算式还可以用平方数的形式来表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方 。

2、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n）
，或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n×（n+1）。

补充内容（位置）

1 、我们用数对（数对：由两个数组成，中间用逗号隔开 ，用括号括起来
。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行 ”）确定点的位置。如数对(3
，5)表示：(第三列，第五行)

竖排叫列(从左往右看)横排叫行(从前往后看) ，先数列再数行 。

2
、平移时用“上
”、“下” 、“前 ”
、“后
”、“左” 、“右 ”来表述
，平移时图形的现状不变
。

3
、图形左、右平移： 行不变 ；图形上 、下平移： 列不变

补充内容（“鸡兔同笼
”问题）

一、“鸡兔同笼”问题的特点：

题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量 ，求出各未知数的单量。

二
、“鸡兔同笼 ”问题的解题方法

1、假设法（1） 假如都是兔（2） 假如都是鸡；

（一般假设都是大数（脚多的）
，再求出两个脚的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小数（脚少的）最后再用总的头减小数得到大数 。（我们称为设大得小 ，设小得大）

例
，有34个同学去划船，大船每船坐4人 ，小船每船坐2人
，租12条船刚好坐满，问大船和小船各租了几条
。

假设法：

①假设全部是大船则坐12×4=48(人)

②那么实际人数与大船做的人数相差48-34=14(人) ，

③实际一条大船比一条小船多坐4-2=2(人)

④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的数量），14÷2=7（条）

⑤总的船减小的船得到大的船12-7=5（条）。(要注意单位)

2 、列方程法：例有34个同学去划船
，大船每船坐4人，小船每船坐2人 ，租12条船刚好坐满
，问大船和小船各租了几条 。

解：设大船有X条，则小船有12-X条

4X+2×(12-X)=34 4X是大船坐的人数 ，4是大船每船坐4人
，2×(12-X)是小船坐的人数，小船每船坐2人 ，有(12-X)条船
，相加就得到总人数34人
。2×(12-X)用乘法分配律计算得到24-2X.。

所以4X+2×(12-X)=34

4X+2×12-2×X=34

4X+24-2 X=34

2 X+24=34

2 X=34-24

2 X=10

X=5

12-5=7（条）

答：租大船5条，小船7条 。

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