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网上科普有关“易经杂说3《河》与《洛书》”话题很是火热 ，小编也是针对易经杂说3《河》与《洛书》寻找了一些与之相关的一些信息进行分析
，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

易经杂说3《河图》与《洛书》

　《河图》与《洛书》的文化根源

　后面的两个画着圈圈点点的图 ，叫《河图》 、《洛书》，它们就是麻将
、象棋、围棋的祖师爷 。麻将与象棋 、围棋虽属小道
，却都与这两个图有关系。

　《河图》、《洛书》是属于中国学术思想神话部分的东西
。旧传说大禹治水的时候，在工程方面发生很多困难 ，结果在黄河上游
，从河中出来一匹马，古人将之神化称它为龙马。这龙马背上背了一个图案 ，图案上就是这些个圈圈点点
，没有别的，因此这个图案就名叫《河图》 ，因为这个图案
，产生了数学的方法，数学的观念 。但古代的神话 ，和一般学说的说法两样
，神话中说，大禹得了这个《河图》 ，就能骗使鬼神，把中国的水患治平了
。稍后在洛水里出来一个乌龟
，这乌龟的背上，有另一个由圈圈点点形成的图案 ，这个图案
，名叫《洛书》。这两种图案合起来，就产生了中国数理的哲学和工程上应用的学说 。这是我们传统的说法 ，后世一直到了唐宋以后
，在学说上一般学者都不同意这种说法，他们采取怀疑的态度
。到了现代更加反古了 ，认为这两图毫无意义
，可能是假托的神话。现代学者这种?毫无意义的认定?又有什么根据？亦说不出来，只是不相信这一套说法而已 。

　依我们所了解的 ，中国文化大概在春秋战国时候
，是没有统一的
。那时不但语言没有统一
、文字没有统一、交通没有统一 、经济没有统一，乃至各个地区的社会形态亦不统一。周朝的 *** 所谓的中央天子之治 ，分封诸侯，地方分治
，并不统一 。从秦汉以后统一的局面是另外一回事，我们研究历史 ，常以后代政治形态
、社会形态看古人
，这是很大的偏差
。由于那时代没有统一，从孔子所保留的四书五经文化看起来 ，唐虞以上的历史
，文字资料太难整理，所以有可靠文字为依据的时候 ，断自唐尧开始
，整理出了《尚书》，根据这些资料 ，就了解尧、舜 、禹三代文化区域不同。那时在黄河上游的北部
，更早时期的黄帝，如有名的涿鹿之战 ，就是在河北的北部 。那时的文化是在北方的，后来到了周朝的文化
，差不多到了黄河以南，中国的文化是由北向南移 ，大的一面是由西北到东南
，另外小的一面是由北到南，如江南的文化 ，是从晋朝以后才慢慢由北方推移过来。到了南宋的时代
，江南文化便大盛
。不但是中国，外国的文化也是一样 ，都是由北方起源
，慢慢推移演变到南方来。中外历史上真能统治一代就兴盛起来的统治者，都是起于北方 ，而且很少出于都市
，大多都来自乡间，这些对于研究哲学问题关系很大 。

　现在我们知道中国文化 ，最初是由黄河上游发展出来，显见《河图》
、《洛书》这两个文化系统
，发生在不同的地点，一个是在北方黄河的上游 ，一个是在南方
，在黄河的南岸洛阳这一带
。

　从天文星象看《河图》

　研究这两个图有什么意义？反对一派人的看法，认为这和小孩子画画的东西一样 ，是毫无道理的。可是
，如果说它是毫无道理骗人的东西，可骗了几千年 ，而且都是第一流人物受骗
，那么这种很高明的骗术亦值得研究了 。现在我来假定，这是过去非常简化的天文图 ，那么它究竟指的是哪几个星座？我们知道天文分几种
，现在分得更严格，譬如星象学 ，是属于天文的学问
。星象又分两种，一种是讲天文的星座
，另一种我定名为抽象的星象学。古今中外如埃及、印度 、中国，尤其在大西洋一带的文化 ，乃至现在新发现南美一带所谓落后地区的星座文化
，都属于抽象的星象学 。抽象的星象学，是把天文的星象与人体的关系 ，连在一起研究
，发展成看相
、算命等等，都属于星象学抽象的星象 ，所以过去的历史文化上
，对看相算命的人，都称他们为?星象家?
。这就说明看相算命的原理 ，必须要从星象来的。现在美国有一门星象学
，也是新兴的学术，有七八个大学开了算命看相的课 ，正式研究全世界各国的看相算命方法，现在虽还没有构成学位的系统
，但已网罗了各国懂这一套的人开始任教 。那么我们提出来的《河图》、《洛书》，就是我们古代简化的 、归纳性的星象图 ，这是我的假设
。如果从这个方向去发掘
，当可发掘出很多的道理，在我们《易经》的象数方面 ，把这一套归纳出来
，说法可不同了，是非常玄妙的 ，可是这些玄妙的方法产生了很多东西。譬如《河图》下面的一个白点
，叫作?天一生水，地六成之? ，对方（上面）?地二生火
，天七成之?，左边为?天三生木 ，地八成之?，右边为?地四生金
，天九成之?，在中央为?天五生土 ，地十成之? 。以前我们只知道如此背诵
，到底什么道理则不知道。事实上研究哲学或者研究科学，问题大了
。

　举一个例子 ，全世界的文化
，除了宗教以外，讲宇宙的开始 ，不外乎一派是唯心的
，一派是唯物的。唯物思想认为地球的形成，宇宙的开始 ，第一个原素是水 。后来的地质学家
，完全站在科学物理的立场，认为地球的形成 ，最初在太空中如一团泥浆旋转，经过几百亿万年的不断旋转以后
，渐渐凝结起来了，成为地球
。在中国的哲学中
、科学中 ，《易经》里则有天一生水
，地六成之，同样的道理 ，水是第一个原素
，等到形成了地球以后，所谓地六成之 ，这是中国思想。在春秋以前
，讲究时间与空间，这又与西方不同 ，当时西方讲四方
，印度讲十方为空间的方位 。中国人在春秋以前讲六合，由庄子提出来 ，讲六合空间，包括东南西北四方和上下
，了解了这些以后，就知道《河图》、《洛书》 ，不是随便乱说的
。?天一生水
，地六成之?，并不是迷信的话 ，而是说宇宙形成的第一个原素是水
，构成了地球以后，再有四方上下六合来形成 ，但这是从推论来的
，还不是科学的。讲到中国的科学，多在过去道家的传统思想里 ，大家都知道牛顿发现了地心吸力以后
，世界的科学有一个转变，爱因斯坦发明相对论以后 ，对于牛顿的定理又要推翻或修正，又产生了现代的文化
，所以人可以到太空去，但牛顿的地心吸力的定理还存在 。其实每一个星球的本身 ，都有它的吸力
，所以各不相干，都在那里转 ，但问题在于太空中有这么许多星球
，为什么不会相撞呢？舞台上表演特技，抛掷许多球不会碰撞 ，是因为时间 、速度控制得好
，位置摆得好，用力适当得好 ，可是太空的星球有谁在抛掷它们呢？这个问题的答案还没有找到
，全世界人类正在找，我们把这些资料汇集起来 ，再研究《河图》、《洛书》，就知道它们本身是有道理的
。

?

　为什么?地二生火
，天七成之?？这图案下面两点是偶数，黑点表示是阴性的 ，阴的东西是构成物质以后
，阳的是在没有构成物质以前，等于现代科学名词中的?能? ，有作用
，但是看不见的，以哲学而言能是抽象的 ，在这里的代号就是白点
，是奇数的。地二生火，古代亦可解释为地下有火 ，所以有火山爆发
，由地下生出火来，因此叫作?地二生火? ，这种解释似是而非，是前一个时期的知识范围所能作的解释 。事实上?地二生火?是说地球形成以后
，它的转动摩擦，发生了电能 ，然后?天七成之?
，这个是因为地球在宇宙中的位置，与北斗七星 ，所谓大熊星座有连带关系
。我们中国讲天文地理
，离不开北斗七星，古人认为这是皇帝的星座。我们不必看得那么神秘 ，这有另外一套道理
，同中国的政治哲学思想
、科学、天文，样样都有关联 。

梦溪笔谈的书籍价值

华罗庚故事

成功对每个人来说都是一件幸运的事 ，但不是每一个人都能获得成功。成功不是路边的小石子随处可捡
，也不是田间的小草随意可觅
。要成功，需要有一段漫长的路要走 ，在这期间是要经过许多挫折的。

1930 年的一天，清华大学数学系主任熊庆来
，坐在办公室里看一本《科学》杂志 。看着看着，不禁拍案叫绝：“这个华罗庚是哪国留学生？ ”周围的人摇摇头 ，“他是在哪个大学教书的？
”人们面面相觑
。最后还是一位江苏籍的教员想了好一会儿
，才慢吞吞地说：“我弟弟有个同乡叫华罗庚，他哪里教过什么大学啊！他只念过初中 ，听说是在金坛中学当事务员。”

熊庆来惊奇不已
，一个初中毕业的人，能写出这样高深的数学论文 ，必是奇才 。他当即做出决定
，将华罗庚请到清华大学来
。

从此，华罗庚就成为清华大学数学系助理员。在这里 ，他如鱼得水
，每天都游弋在数学的海洋里，只给自己留下五 、六个小时的睡眠时间 。说起来让人很难相信 ，华罗庚甚至养成了熄灯之后，也能看书的习惯
。他当然没有什么特异功能
，只是头脑中一种逻辑思维活动。他在灯下拿来一本书，看着题目思考一会儿 ，然后熄灯躺在床上
，闭目静思，开始在头脑中做题 。碰到难处 ，再翻身下床
，打开书看一会儿
。就这样，一本需要十天半个月才能看完的书 ，他一夜两夜就看完了。华罗庚被人们看成是不寻常的助理员 。

第二年
，他的论文开始在国外著名的数学杂志陆续发表。清华大学破了先例，决定把只有初中学历的华罗庚提升为助教
。

几年之后 ，华罗庚被保送到英国剑桥大学留学。可是他不愿读博士学位
，只求做个访问学者 。因为做访问学者可以冲破束缚，同时攻读七
、八门学科
。他说：“我到英国 ，是为了求学问，不是为了得学位的。 ”

华罗庚没有拿到博士学位 。在剑桥的两年内
，他写了 20 篇论文
。论水平，每一篇都可以拿到一个博士学位。其中一篇关于“塔内问题
”的研究 ，他提出的理论被数学界命名为“华氏定理” 。

华罗庚曾说：“科学上没有平坦的大道
，真理的长河中有无数礁石险滩
。只有不畏攀登的采药者，才能登上高峰觅得仙草；只有不怕巨浪的弄潮儿 ，才能深入水底觅得骊珠。 ”科学上的每一个真理都是在经历无数次的挫折、失败之后才得出的 。我们要正视挫折
，正确对待挫折，只有这样 ，才能让挫折变成我们走向成功的阶梯
。

华罗庚以一种热爱科学
，勤奋学习，不求名利的精神 ，献身于他所热爱的数学研究事业。他抛弃了世人所追求的金钱 、名利
、地位 。最终
，他的事业成功了。

华罗庚把科学研究与实际应用紧密结合起来
。华罗庚把数学应用到工农业生产上，对我国现代化建设做出了突出的贡献。

挫折可以战胜 ，挫折孕育着成功，而前提是具有坚定的信念和勇往直前的精神 。当具备了这些条件之后
，挫折就会被你踩在脚下，明天就是拨开浮云见丽日之时
。

“巧算24点
”

“巧算24点”是一种数学游戏 ，正如象棋、围棋一样是一种人们喜闻乐见的娱乐活动。它始于何年何月已无从考究
，但它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受 。这种游戏方式简单易学，能健脑益智 ，是一项极为有益的活动
。

“巧算24点 ”的游戏内容如下：一副牌中抽去大小王剩下52张
，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加 、减
、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24。每张牌必须用一次且只能用一次 ，如抽出的牌是3 、8
、8、9
，那么算式为（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等 。

“算24点
”作为一种扑克牌智力游戏，应注意计算中的技巧问题
。这里向大家介绍几种常用的 、便于学习掌握的方法：

1．利用3×8＝24、4×6＝24求解。

把牌面上的四个数想办法凑成3和8
、4和6 ，再相乘求解 。如3、3 、6
、10可组成（10—6÷3）×3＝24等
。又如2、3 、3
、7可组成（7＋3—2）×3＝24等。实践证明
，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法 。

2．利用0 、11的运算特性求解。

如3
、4、4 、8可组成3×8＋4—4＝24等
。又如4
、5、J 、K可组成11×（5—4）＋13＝24等。

3．在有解的牌组中，用得最为广泛的是以下六种解法：（我们用a、b
、c、d表示牌面上的四个数）

①(a—b）×（c＋d）

如（10—4）×（2＋2）＝24等 。

②（a＋b）÷c×d

如（10＋2）÷2×4＝24等
。

③（a－b÷c）×d

如（3—2÷2）×12＝24等。

④（a＋b－c）×d

如（9＋5—2）×2＝24等 。

⑤a×b＋c—d

如11×3＋l—10＝24等
。

⑥（a－b）×c＋d

如（4—l）×6＋6＝24等。

游戏时 ，同学们不妨按照上述方法试一试 。

需要说明的是：经计算机准确计算，一副牌（52张）中
，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点 ，如A 、A
、A、5
。

不难看出
，“巧算24点”能极大限度地调动眼 、脑
、手、口 、耳多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。

同学们 ，你也来试试“巧算24点 ”吧
，相信你会很快喜欢上它的 。

数学聊斋：算 24 之不可能问题与难题

李尚志（651）

算24, 是很多人都知道的一种用扑克牌玩的游戏
。每张牌代表一个的正整数。(为了简单起见，可以将J,Q,K及``大小王’’ 去掉 ，并约定A代表1 。) 参加游戏的4个人每人出一张牌
，4张牌就代表了4个正整数。四个人就开始竞争，看谁最先将这4个正整数通过加减乘除算出24来 ，而且每个整数恰好用一次
。所用的数学知识虽然只是简单的算术
，但要算得又快又正确也不容易。并且还有很多难题出现 。

例如，如果4个数是1,1,1,1 ，你能算出24吗? 这个题目很难，所有的数学家都算不出来
。你会不会因此而拼命地算这道题
，希望有朝一日将这道题算出来，将所有的数学权威都打倒？只要你具有一点算术常识 ，就能看出用四个1按上述规则算出24是不可能的。因此你也不会白费力气去算这道“难题” 。这不是难题
，而是不可能问题
。其实，现在有很多“民间数学家
”拼命想解决的问题 ，比如用尺规作图三等分任意角
、找出5次以上的一般代数方程的求根公式、等等
，也和这个问题一样是不可能问题。只不过这些问题的不可能性不容易看出，而是前辈数学家用较高深的数学知识才证明出来的 。不过 ，既然已经证明了
，就不再是难题，而是已经解决了的问题
。

又例如 ，4个数是5,5,5,1
，让你算24，你能算出来吗？还有 ，如果4个数是3,3,7,7，或者4,4,7,7
，或者3,3,8,8，你能算出来吗？

也许 ，经过努力之后你仍然算不出来
，于是你相信它们都是不可能算出的。不过，如果你看见这样的答案：5 x (5 –1/5) =24 ，就知道用5,5,5,1算24不是“不可能问题”
，至多只能算是一个“难题 ” 。其实，这个难题也不太难
。只要你解除思想束缚 ，不要求中间每一步的计算结果都是整数
，而允许出现分数，就能自己凑出答案来。不过 ，这样“凑出来
”的答案让人感到是偶然的巧合 。能不能有一个更自然的思考方法呢?

先用 5,5,1算出24：5 x 5 – 1 =24。还剩下一个5没有用上
。我们对 5 x 5 –1 进行恒等变形
，利用乘法对于加法的分配律将两项的公因子5提到括号外：

24 = 5 x 5 – 1 = 5 x (5 – 1/5)

这样既保持了答数24不变，又将算式中两个5变成了3个5。

你不妨自己试一下 ，用类似的方法用 4,4,7,7 或 3,3,7,7算24 。

3,3,8,8 稍微不同，但也可以用同样的思路解决
。

3 x 8 8

24 = —————— 分子分母同除以 3 得 ——————

3 x 3 – 8 3 – 8/3

调查设计报告

一 、调查目的

今年上半年青少年视力互动调查报告显示
，有40.3%的小学生是近视患者，近视学生度数还在以每年50-100度的趋势不断加深。

二
、调查分析

针对青少年近视率居高不下的问题 ，分析其原因主要有四点：

1、 学生用眼过度；

2 、 用眼不卫生；

3、 缺乏眼保健知识；

4
、 饮食结构单一
，缺乏眼营养 。其中，63%的学生用眼时间过长 ，60%的学生不注意用眼卫生
，50%左右的学生没有认真做好眼保健操，60%左右的学生缺少眼营养补充
。

三、调查体会

近视应该以预防为主 ，已经近视的则要控制视力下降
，好的生活习惯 、学习环境和补充合适的眼睛营养，及时消除眼疲劳
、减少近视眼的发生是完全可以达到的。

四、操作设计

预防近视从身边做起 ，经过仔细地调查研究
，我设计了一套以人为本的台灯和椅子 。大夏天里，我们需要一个清凉安心的学习 、工作环境 ，常常伴随我们的是台灯和坐椅
。做功课的时候，你是否会感觉很闷热
，心烦意乱，现有的台灯和坐椅降低了我们的学习
、工作效率 ，特别是台灯对同学们的视力影响很大。

五、设计思路

台灯

1 、 原来情况：原来的台灯大多光线有强有弱
，比较伤眼睛，极易得近视 ，让您以后成为眼镜的奴隶 。

我的设计：我的台灯可以根据周围环境自动产生感应光线
，光线强弱由感应器测定，灯管外还有一层特殊的保护膜 ，绝不伤眼睛
。

2
、 原来情况：原来的台灯大多开关按键费力
，使用时间一长，容易损坏失灵 ，免不了再三花费时间和金钱去修理。

我的设计：我的台灯为电子触摸式开关
，特别轻巧好用，不易损坏 ，还可以调节光线的强弱 。

3、 原来情况：原来的台灯光线会引来飞虫，做功课时
，窗户开着蚊虫飞进屋子打扰；不开窗子又觉得闷热难耐，除了开电扇 、空调 ，没有其他更好的办法
，空调用多了空气干燥容易得空调病。

我的设计：我的台灯上装有微型风扇，出风口风力可以调节 ，在您做功课时
，可以给您带来清凉，提高学习效率；还含有负离子发生器 ，源源不断给您提供新鲜的空气
，天然的氧吧，给大脑冲电 ，令您精神百倍
。

椅子

1
、 原来情况：普通的椅子在天热时
，即使有皮革面，也起不了降温的作用。

我的设计：改进后的椅子皮革坐垫上有小孔 ，坐垫下方有电扇可以吹风，并设置有负离子发生器
，让您更凉爽舒适 。

2、 原来情况：普通的椅子不配备工作电机，有电机的按摩椅也都是接交流电
。

我的设计：改进后的椅子不用交流电 ，只需要用两节5号充电电池就可以帮助电机工作
，电力弱，对人体无伤害又省电；还能利用人坐在椅子上的压力产生电力不断地给电池充电 ，可省电了！

请看：

六 、友情提醒

专家介绍
，睡眠不足身体不仅容易疲倦，还易引起视力下降；要少吃含糖量高的甜食 ，少吃烧烤类食物
，不偏食、厌食。多吃对眼睛健康有益的食物，如富含硒元素的食物（动物肝脏
、瘦肉、玉米 、洋葱
、大蒜、海鱼 、淡菜等）
、富含维生素A的食物（肝脏、牛羊奶 、蛋黄）和富含维生素B1和尼克酸的食物（小麦
、玉米、螺旋藻） 。

祝你成功~~

简述基本数学活动经验的涵义及其特征
。

《梦溪笔谈》中有7条笔记涉及数学 ，涉及的面较广且多有创见。被数学界尊为中国古代数学研究的重要成就
，其中就包括了沈括首创的隙积术和会圆术 。所谓“隙积术”，是指如何计算“垛积 ”
。沈括运用类比 、归纳的方法 ，提出了准确的计算方法，并以堆积的酒坛为例加以说明。实际上
，沈括是以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数（级数求和） ，化为连续整体数值来求解
，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想 。在中国国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域
。所谓“会圆术
”，实际上是指由弦求弧的方法 ，主要思想是局部以直代曲
，对圆的弧矢关系给出了一个比较实用的近似公式。会圆术问世后，得到了广泛应用 ，郭守敬
、王恂等都用到过会圆术 。

在数学研究与应用方面的还有：提出了如何计算围棋可能的总局数的方法
，并指出：“……然算术不患多学，见简即用 ，见繁即变
，乃为通术也”，这实际上反映了他不拘一法、解法多样化 、简约化的思想。在象数中 ，沈括否定了数的神秘性，肯定了数与物的关系
。此外
，笔记中关于测量汴河水位落差的方法等，都从不同的侧面体现了沈括非凡的数学才能以及统筹与应用的数学思想。 关于《梦溪笔谈》 ，也有研究者对其在化学、农学
、考古学等领域的研究与应用价值进行过研究与探讨 。并取得一些成果
。

一、数学基本活动经验的涵义

首先是“数学 ”的
，所从事的活动要有明确的数学目标，没有数学目标的活动不是“数学活动
”。小学数学是研究最基本的数量关系 、图形关系
、随机关系（主要是统计关系）的 。

其次是“经验”的 ，经验是一种感性认识
，包含双重意义，一是经验的事物 ，二是经验的过程
。数学经验是数学的感性认识
，是在数学活动中积累的。

再次是“活动 ”的，苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：数学教学是数学活动的教学 ，也是思维活动的教学 。那么包括抽象思维、数学证明 、数学解题在内的整个数学教学活动都是“数学活动
”
，这样就过于泛化
。我理解的“数学活动经验”所指的“活动 ”其特定含义主要是对数学材料的具体操作和形象操作探究活动。

至于“基本”，《数学课程标准》把数学知识
、数学技能、数学思想 、数学活动都冠以“基本
” ，称作“四基” 。

“获得数学基本活动经验 ”作为教育目标指出，是基于“动态的数学观
”
，把数学看成是人类的一种活动，是一种充满情感
、富于思考的经历体验和探索的活动
。这样的数学观必然影响着数学教育观。

首先 ，数学教学的目标
，并非单纯体现于学生接受的数学事实，而更多的是通过对数学思想方法的感悟 ，对数学活动经验的积累
，将“经验材料组织化”“数学材料逻辑化 ” 。数学知识不仅包括定义、公式 、法则
、定理等数学事实的“客观性知识
”，而且包括从属于学生自己的“主观性知识” ，即带有个体认知特点的个人知识和数学活动经验
，它是经验性的、感性的 、不那么严格“隐性知识 ”。

其次，数学教学不仅是结果的教学 ，更重要的是过程的教学
。数学课堂教学必须结合具体内容让学生在数学学习活动中去“经历过程
”。

再次
，数学课堂教学应该是开放的 。数学活动经验不像事实性知识那样“看得见、摸得着”，而且表述是唯一的
。学生在数学活动中对某一数学对象的认识是有个性特征的 ，在认识的过程中所获得的经验又是多样的，学生的发展也因此而不同。这就决定了数学课堂教学不能封闭式灌输
，而要开放式地组织活动 。每个学生在学习过程中都有一定的自主性，老师应给各种不同意见以充分表达的机会 ，积极拓展学生的学习空间
。

二
、数学基本活动经验的特征：

1 主体性。经验是存在于个体头脑中而无法直接观察的心智表征或心智结构 。学生作为主体
，参与到社会生活实际或教师创设的情境当中，亲身体会形成自己个体的经验
。因此数学基本活动经验是基于学习主体的 ，属于特定的学习者自己
，它带有明显的主体性特征。例利用画画、剪剪 、拼拼
、凑凑、量量的办法，让学生去发现关于“三角形内角和等于1800 ”命题的学习 ，就是一种学生积极主动获取知识的发现学习 。学生通过动脑 、动手
、洞口
，充分调动多种感官协同活动，从多个渠道有效得获得数学活动经验
。比如在教学中教师合理地运用操作性的教具与学具 ，通过实物操作、观察 、体验来建立对数学的感觉
，形成对学习对象的数学经验。由于经验是在主客体相互作用的基础上，主体反映客体时所产生的主观产物 ，因此，经验的接受和占有不能像接受实物那样
，在既不改变性质也不改变存在形式的状态下进行 。经验的接受过程是主体重建经验结构的过程，也即是一个主体心理结构的构建过程 ，主体必须处于一种十分主动的状态
，积极地进行一系列复杂的心理运作，才能完成构建过程 ，真正地“接受
”相应的经验。因此
，学生的学习，从结果看是“接受”了已有经验 ，而从过程看则是一个积极主动的经验建构过程
。

2 实践性。经验离不开活动
，数学活动是经验产生的源泉，因此离开了数学活动 ，就根本不会形成有意义的数学活动经验
，只有亲身经历体验了才能形成经验，经验具有明显的实践性 。中小学生学习形式化的数学时 ，基本上与自己的生活实际结合起来进行学习
。例如小学生学习小数，很自然地联系到自己购物时的商品标价；学到百分数
，就会联想到本班同学体育锻炼达标的合格率。低年段学生的生活阅历浅，实践能力弱 ，只有切实经历有效的实践活动
，才能掌握活动的步骤
、方法，才能逐步积累活动经验 ，形成积极的情感体验 。如在《角的认识》中
，教师有意创设了这样一个情境，给每个同学一个不口袋 ，口袋里面放了一些物品
，让学生从中摸出一个角
。在学生纷纷举着自己摸出的角之后，老师说：“看看你们摸得这么好 ，我也想摸摸。你们能给我说说是怎么摸出来的吗？ ”孩子们说
，“角有一个尖点，扎得慌 。”教师伸手摸出一个图钉；孩子们又说 ，“角还有两边
”
。教师伸手摸出的确实一支削得很间尖的铅笔；孩子们急忙又补充说，“角是平的”。教师摸出一片树叶
，“尖尖的，平平的 ，怎么没有角？ ”孩子们回答说
，“两条边应该是直的
”，这回教师摸出了一个三角板 ，教师真诚地对同学们说
，“谢谢你们帮助我找到了摸角的感觉 。”明显看到教师是在有意识引导学生进行体验，使学生认识并抓住角的关键特征
。

3 内隐性（缄默知识）。人作为一个个体是通过日常生活、与人交往或其他活动形成大量的个体经验 ，拓展最近发展区
，并通过意义建构把最近发展区变成现实的发展 。通过建构获得经验，同时凭借经验也获得建构。经验是属于个体的 ，依赖于特定的活动
，离开了活动，何谈经验
。所有的知识都是在个体与经验世界的对话中建构起来的 ，都必须以个体的认知过程为基础。经验是不能传递的，譬如说“60°的水是热的 ”
，那么就是作为知识传递下来的，如果说“60°的水是烫的
” ，那么就是个经验问题
，如果没有体验过，不会形成烫的经验 。建构主义认为知识不是通过感觉或交流而被个体被动地接受的 ，而是由认知主体主动地建构起来的
，建构是通过新旧经验的相互作用而实现的
。认识的技能是适应自己的经验世界，帮助组织自己的经验世界 ，而不是去发现本体论意义上的现实。经验作为一种心理现象
，是属于个人的，是隐藏在一个人的内心深处的 。数学活动经验反映的是学习者在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性的认识 ，这种经验性认识更多的时候是内隐的
。正是因为经验的内隐性
，使得我们难于把握，难以琢磨。

4 多样性 。对同一个数学活动 ，即使外部条件相同，针对同一对象
，每一个学生仍然可能具有不同的理解，形成不同的经验
。学生通过动脑 、动手
、洞口 ，充分调动多种感官协同活动
，从多个渠道有效得获得数学活动经验。比如在教学中教师合理地运用操作性的教具与学具，通过实物操作、观察 、体验来建立对数学的感觉 ，形成对学习对象的数学活动经验 。正是由于经验的多样性
，才产生了数学学习的差异性
。作为一名学生的学习是基于经验而又超越经验，就是说他们具有了超越经验、超越实践的眼光
、能力和素养 ，他们有更高的追求和理想
，具有更高的品位与境界，通过不断地阅读自我、认识自我 、超越自我而成为真正的教育教学的主宰者。真正的经验不能传授 ，经验是个情绪体验
，只有多经历，才能辨别真伪 。水是热的 ，水是烫的，烫是经验
，热是知识，只有你亲手经历体验才能知道。数学教育活动是作为一种实践活动 ，必须非常重视“经验”的作用
。教育研究指向实践
，在相当程度上就是在研究“经验 ”，或是一种以“经验
”为对象的研究。研究“经验”本身确实需要“经验 ” ，没有“经验
”无法研究“经验”
，这就要求研究者深入教育教学第一线，以形成亲身经历和体验 ，这也是有成就的教育研究者获得研究成功的基本经验之一 。

5 指导性
。凡是有学习的地方都存在着经验。学生通过基本数学活动
，获得的经验要能进行反思提炼，形成对以后类似情境与活动的指导作用 。指导性可以这样理解“学生头脑中已有的认知结构对新的数学学习活动的影响
。 ”经验能在现实基础上预料以后情况的发生 ，并做出适当的安排计划。如围棋能手一下子能看出五步甚至更多步的棋来
，这就需要他的前四步棋完全如他所料的那样出现，依靠经验 。经验成为沟通学生已有的认知结构和新的数学学习活动的桥梁
。再如在数论中有时候根据经验来猜测的结果 ，比如哥德巴赫猜想
、费马大定理等等。面对新的情境、新的问题，学生需要调动自己已有的 、适当的经验去同化这个新的情境与新的问题
，把它与自己原有的知识形成合理和本质的联系 。情境认知理论认为知识是通过经验而情景化的
。学生在A活动中所得到的最新经验，并不是直接同现在的B活动的刺激——反应成分发生相互作用 ，而只是由于它影响原有的认知结构的有关特征
，从而间接地指导活动B的解决。学习了“数”的运算规则可以有效指导学习“式
”的运算规则；学习了平面上求轨迹的方法可以有效地指导空间求轨迹 。

6 过程性。从知识的角度上讲，经验是一种过程性知识 ，是在实践活动中所形成的一种“活动图式”
。它主要由三种成分组成
，一是知识性成分，是指在活动过程中所建构的关于活动主客体的个人意义 ，包括操作的直观感知
、建立的新旧知识之间的联系以及对活动过程的感悟等
，是人们在活动过程中所悟出的道理，是对活动过程的直观把握 ，其合理性主要由活动的有效性来保证
，如“老马识途 ”；二是体验性成分，是指在活动过程中所产生的情绪体验 ，包括成就感与失败感、自我调节心态的体会等，如“大赛经验
”；三是观念性成分
，是指活动过程所形成的意识和信念，如应用意识 、创新意识
、做事的信心与信念等等。[6]经验注重过程 ，启发思考 。使学生探究的过程、思考的过程 、抽象的过程
、预测的过程、推理的过程 、反思的过程等都可能成为经验的组成部分
。实际上当学生参与某项数学活动会形成的某种图式是建立在他的认知结构中进行登记
，然后开始考虑其逻辑依据，与先前的相关内容发生联系 ，使得与本人的数学认知结构趋于和谐
，当到一定阶段，经验会在他面临不同具体情境时逐步获得反馈消息 ，以加深经验的体验。

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